3.3 优化器及自定义优化器

Adam算法

Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。下面我们来介绍这个算法。

1. 算法

Adam算法使用了动量变量$\boldsymbol{v}_t$和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量$\boldsymbol{s}_t$，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数$0 \leq \beta_1 < 1$（算法作者建议设为0.9），时间步$t$的动量变量$\boldsymbol{v}_t$即小批量随机梯度$\boldsymbol{g}_t$的指数加权移动平均：

$$\boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t.$$

和RMSProp算法中一样，给定超参数$$0 \leq \beta_2 < 1$（算法作者建议设为0.999）， 将小批量随机梯度按元素平方后的项$\boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t$做指数加权移动平均得到$\boldsymbol{s}_t$：

$$\boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t.$$

由于我们将$\boldsymbol{v}_0$和$\boldsymbol{s}_0$中的元素都初始化为0， 在时间步$t$我们得到$\boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_i$。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 $(1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} = 1 - \beta_1^t$。需要注意的是，当$t$较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当$\beta_1 = 0.9$时，$\boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}_1$。为了消除这样的影响，对于任意时间步$t$，我们可以将$\boldsymbol{v}_t$再除以$1 - \beta_1^t$，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中，我们对变量$\boldsymbol{v}_t$和$\boldsymbol{s}_t$均作偏差修正：

$$\hat{\boldsymbol{v}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t},$$

$$\hat{\boldsymbol{s}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}.$$

接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量$\hat{\boldsymbol{v}}_t$和$\hat{\boldsymbol{s}}_t$，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：

$$\boldsymbol{g}_t' \leftarrow \frac{\eta \hat{\boldsymbol{v}}_t}{\sqrt{\hat{\boldsymbol{s}}_t} + \epsilon},$$

其中$\eta$是学习率，$\epsilon$是为了维持数值稳定性而添加的常数，如$10^{-8}$。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用$\boldsymbol{g}_t'$迭代自变量：

$$\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}_t'.$$

原始论文中实现：

2. 简单实现

基于Python实现Adam优化器：

class Adam:
    def __init__(self, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999):
        self.lr = lr
        self.beta1 = beta1
        self.beta2 = beta2
        self.iter = 0
        self.m = None
        self.v = None

    def update(self, params, grads):
        if self.m is None:
            self.m, self.v = {}, {}
            for key, val in params.items():
                self.m[key] = np.zeros_like(val)
                self.v[key] = np.zeros_like(val)

        self.iter += 1
        lr_t = self.lr * np.sqrt(1.0 - self.beta2**self.iter) / (1.0 - self.beta1**self.iter)

        for key in params.keys():
            self.m[key] += (1 - self.beta1) * (grads[key] - self.m[key])
            self.v[key] += (1 - self.beta2) * (grads[key]**2 - self.v[key])

            params[key] -= lr_t * self.m[key] / (np.sqrt(self.v[key]) + 1e-7)

TODO：

https://github.com/OverLordGoldDragon/keras-adamw/blob/master/keras_adamw/optimizers_v2.py

实验